Resuelven en tres dimensiones el problema de la aguja de Kakeya, abierto desde 1917
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En febrero de 2025, Hong Wang (Universidad de Nueva York, Instituto Courant) y Joshua Zahl (Universidad de Columbia Británica) publicaron una demostración de la conjetura de Kakeya en tres dimensiones. El enunciado que probaron: todo conjunto del espacio tridimensional que contenga un segmento de longitud 1 apuntando en cada dirección posible tiene dimensión de Hausdorff 3, es decir, la máxima que cabe en ese espacio.
El problema empezó con una aguja sobre una mesa
El matemático japonés Sōichi Kakeya planteó en 1917 una pregunta que suena a acertijo de sobremesa: si se tiene una aguja de longitud 1 sobre un plano y se quiere girarla 180 grados hasta dejarla invertida, moviéndola de forma continua, ¿cuál es la región de menor área que permite hacerlo? La respuesta obvia es un círculo de diámetro 1. La respuesta buena es peor de lo esperado: en 1928 Abram Besicovitch demostró que el área puede hacerse tan pequeña como se quiera. Existen regiones de área arbitrariamente próxima a cero dentro de las cuales la aguja puede darse la vuelta entera.
La construcción funciona a base de pinchos finísimos que se van solapando. Al superponer los segmentos en las direcciones adecuadas, el área total se desploma mientras las direcciones siguen todas cubiertas. De ahí salió el objeto que interesa de verdad a los matemáticos: un conjunto de Besicovitch, que contiene un segmento unidad en todas las direcciones y tiene medida cero.
Medida cero, pero no pequeño
Que un conjunto tenga medida cero no significa que sea escuálido. Ahí es donde entra la dimensión de Hausdorff, una forma de medir el tamaño de conjuntos irregulares que admite valores no enteros y distingue entre cosas que la medida ordinaria considera igual de despreciables. La conjetura de Kakeya afirma que, en un espacio de n dimensiones, cualquiera de estos conjuntos tiene dimensión de Hausdorff exactamente n: son de medida nula y a la vez tan gordos como el espacio que los contiene.
En el plano la conjetura se resolvió en 1971, con Roy Davies. En tres dimensiones se quedó atascada durante décadas. En el año 2000, Nets Katz, Izabella Łaba y Terence Tao consiguieron bajar la cota inferior de 5/2 —el valor que llevaba en pie desde los años ochenta— a 5/2 más una cantidad diminuta. Los avances posteriores fueron ganando fracciones de decimal, sin acercarse al 3.
Qué hicieron Wang y Zahl
Los dos autores venían trabajando en el problema desde 2022, cuando demostraron el caso de los conjuntos llamados pegajosos (sticky): aquellos en los que los segmentos con direcciones parecidas están situados en posiciones parecidas. Ese caso se consideraba el núcleo duro del problema, porque los ejemplos hipotéticos que podrían tener dimensión menor que 3 tendían a comportarse así.
El artículo de 2025 ataca el caso general por reducción al absurdo. Suponen que existe un conjunto de Kakeya en tres dimensiones con dimensión menor que 3 y analizan cómo tendrían que apilarse los segmentos para que eso ocurriera. La demostración pasa por estimaciones de volumen de uniones de conjuntos convexos —tubos finos, en la práctica— y por una clasificación de las configuraciones posibles según cómo se agrupan los tubos en planos y en superficies. Cada una de esas configuraciones acaba llevando a una contradicción. El manuscrito, titulado Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions, se depositó en arXiv el 24 de febrero de 2025.
Por qué le importa a gente que no trabaja en geometría
La conjetura de Kakeya está en la base de una jerarquía de problemas abiertos del análisis armónico. La conjetura de restricción de Fourier, la de Bochner-Riesz y las estimaciones de local smoothing para la ecuación de ondas implican todas la de Kakeya. Es decir, mientras Kakeya siguiera sin resolverse en dimensión 3, ninguna de ellas podía resolverse tampoco en dimensión 3: cualquier demostración habría tenido que probar Kakeya por el camino. Esos problemas gobiernan cuestiones prácticas como qué se puede reconstruir de una señal a partir de una parte de su espectro, o cómo se concentra la energía de una onda que se propaga.
Terence Tao, que había trabajado en el problema veinticinco años antes, escribió en su blog un comentario detallado sobre el artículo y lo describió como un avance de primer orden.
Lo que todavía no está cerrado
El artículo se publicó como preprint y está pendiente de revisión por pares; dada la extensión y la dificultad técnica, el proceso lleva tiempo. La conjetura sigue abierta en dimensión 4 y superiores, donde no se conoce ningún argumento análogo. Y haber probado Kakeya en tres dimensiones no da automáticamente la conjetura de restricción ni las demás: elimina el obstáculo conocido, no las resuelve. Queda por ver si las técnicas de estimación de volumen que usan Wang y Zahl se pueden reciclar hacia arriba en la jerarquía.